- IN MEMORIAM -
Юрий Яковлевич Фиалков
«Вычислительная математика в химии и
химической технологии»
Вычислительная математика в химии и химической технологии   Вычислительная математика в химии и химической технологии

В учебнике рассмотрены методы вычисления погрешностей, приближенного решения нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений, аппроксимации, численного дифференцирования и интегрирования. Изложены статистические методы обработки результатов наблюдений, в частности, первичная статистическая обработка экспериментальных данных, элементы теории корреляции.

Большое внимание уделено приложению методов приближенных вычислений и статистической обработки данных к различным вопросам химии и химической технологии.

Приведены конкретные примеры расчетов, таблицы, используемые при статистической обработке данных, описание подпрограмм, реализующих основные методы приближенных вычислений на языке ФОРТРАН-IV для ЕС ЭВМ.

Для студентов химико-технологических специальностей вузов.

Полный текст — в разделе «книги»
* * *
ОГЛАВЛЕНИЕ
 
Предисловие 3
 
Часть I. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
 
Глава 1. Элементы теории погрешностей 5
1.1. Приближенные значения величин. Источники погрешностей. Классификация погрешностей 5
1.2. Абсолютная и относительная погрешности 6
1.3. Верные значащие цифры приближенного числа 8
1.4. Правила округления чисел 9
1.5. Связь между количеством верных цифр и погрешностью приближенного числа 10
1.6. Погрешности суммы, разности, произведения, частного, степени и корня приближенных чисел 12
1.6.1. Погрешность суммы 12
1.6.2. Погрешность разности 14
1.6.3. Погрешность произведения 15
1.6.4. Погрешность частного 16
1.6.5. Погрешность степени 18
1.6.6. Погрешность корня 18
1.6.7. Вычисления по формуле 19
Глава 2. Приближенное решение нелинейных уравнений 20
2.1. Общие соображения 20
2.2. Методы отделения корней 21
2.2.1. Графический метод отделения корней 21
2.2.2. Аналитический метод отделения корней 22
2.3. Метод проб 23
2.4. Метод хорд 24
2.5. Метод Ньютона (метод касательных) 28
2.6. Комбинированный метод хорд и касательных 31
2.7. Метод итераций (метод последовательных приближений) 34
2.8. Сравнение методов уточнения корней 38
Глава З. Решение систем уравнений 39
3.1. Решение систем линейных алгебраических уравнений 39
3.1.1. Постановка задачи 39
3.1.2. Метод Гаусса. Схема единственного деления 40
3.1.3. Итерационный метод Гаусса — Зейделя 46
3.2. Приближенное решение систем нелинейных уравнений 49
3.2.1. Метод итерации для системы двух уравнений 49
3.2.2. Метод Ньютона для системы двух уравнений 52
Глава 4. Приближение функций 54
4.1. Постановка задачи о приближении функции 54
4.2. Интерполирование функций 55
4.2.1. Постановка задачи интерполирования 55
4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа 56
4.2.3. Понятие о конечных разностях различных порядков 58
4.2.4. Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции 59
4.2.5. Вторая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции 61
4.2.6. Оценки погрешностей интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона 64
4.2.7. Обратное интерполирование 66
4.3. Точечное квадратичное приближение функций 68
4.3.1. Линейная аппроксимация по методу наименьших квадратов 70
4.3.2. Параболическая аппроксимация по методу наименьших квадратов 72
4.3.3. Аппроксимация по методу наименьших квадратов в виде показательной или степенной функции 75
4.4. Приближение функций по способу Чебышева 76
4.5. Эмпирические формулы 84
4.5.1. Постановка задачи 84
4.5.2. Выбор вида эмпирической формулы 84
4.5.3. Определение параметров эмпирической формулы 88
Глава 5. Численное дифференцирование и интегрирование 91
5.1. Численное дифференцирование. Формулы численного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона 91
5.2. Численное интегрирование 95
5.2.1. Постановка задачи 95
5.2.2. Формула трапеций 96
5.2.3. Формула парабол (формула Симпсона) 100
Глава 6. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений 103
6.1. Постановка задачи 104
6.2. Метод Эйлера 105
6.3. Модификации метода Эйлера 106
6.3.1. Усовершенствованный метод Эйлера 106
6.3.2. Усовершенствованный метод Эйлера — Коши 107
6.3.3. Усовершенствованный метод Эйлера — Коши с последующей итерационной обработкой 108
6.3.4. Метод Рунге — Кутта 109
Глава 7. Приближенное решение линейной краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений 112
7.1. Постановка задачи 112
7.2. Метод конечных разностей 113
7.3. Метод прогонки 116
Глава 8. Численное решение уравнений в частных производных 122
8.1. Основные понятия и определения 122
8.2. Метод сеток 123
 
Часть II. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
 
Глава 9. Элементы теории вероятностей 131
9.1. Основные понятия теории вероятностей 131
9.2. Основные правила теории вероятностей, их следствия 134
9.3. Закон распределения случайной величины, формы его выражения 139
9.3.1. Ряд распределения. Многоугольник распределения 139
9.3.2. Функция распределения 139
9.3.3. Плотность распределения 141
9.4. Числовые характеристики случайных величин 142
9.5. Некоторые законы распределения случайных величин 147
9.5.1. Биномиальное распределение 147
9.5.2. Распределение Пуассона 148
9.5.3. Показательное распределение 148
9.5.4. Равномерное распределение 149
9.5.5. Нормальное распределение 149
9.5.6. Распределение Χ2 151
9.5.7. t-Распределение Стьюдента 152
9.5.8. F-Распределение Фишера — Снедекора 152
Глава 10. Первичная статистическая обработка экспериментальных данных 153
10.1. Простая статистическая совокупность 153
10.2. Статистическое распределение 154
10.3. Графическое изображение статистического распределения 156
10.4. Эмпирическая функция распределения 158
10.5. Числовые характеристики статистического распределения 159
Глава 11. Статистическое оценивание параметров распределения 164
11.1. Постановка задачи 164
11.2. Точечные статистические оценки 165
11.3. Интервальные оценки 166
11.3.1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения 167
11.3.2. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения 169
Глава 12. Элементы теории корреляции 170
12.1. Основные понятия и определения 170
12.2. Линейная корреляция 172
12.3. Нелинейная корреляция 180
Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез 182
13.1. Основные понятия и определения 182
13.2. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей 184
13.3. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности 186
13.4. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки) 188
13.5. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона 190
 
Приложения 195
Список рекомендуемой литературы 210
Предметный указатель 211
* * *

ПРЕДИСЛОВИЕ

Деятельность инженера-химика в условиях современного производства сопряжена с постоянной необходимостью проведения различных, нередко весьма сложных, расчетов. Обработка экспериментальных данных в исследовательской лаборатории, расчеты по уравнениям теоретической и экспериментальной химии, обоснование и выбор оптимальных условий проведения химического процесса, определение условий подачи и расхода сырья, расчет выхода химического продукта — все это лишь незначительная часть задач, стоящих перед химиком.

Широкое внедрение в исследовательскую и промышленную химию методов математического моделирования и ЭВМ не только не освобождает химика от необходимости углубленного изучения математических методов применительно к задачам, которые ему приходится решать, но и, напротив, делает это изучение одним из обязательных этапов и элементов подготовки современного инженера-химика и химика-исследователя.

Инженер-химик на производстве постоянно сталкивается с необходимостью проведения приближенных вычислений различной степени сложности и различного назначения. Так, приближенное решение нелинейных уравнений позволяет быстро и с достаточной точностью определять выходы химических продуктов, рассчитывать балансы сырья в сложных химических процессах и т. п. Приближенное дифференцирование и интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных особенно важны при получении и практическом использовании данных по кинетике химических процессов.

Творческое владение элементами теории вероятностей и статистическими методами обработки результатов наблюдений обязательно как для химика-исследователя, так и для химика-технолога. Первый не сможет обойтись без этих методов при статистической обработке данных эксперимента, расчете погрешностей и т. п; инженер-технолог на основании статистических методов и оценки параметров распределения должен определять качество поступающего на процесс сырья или полупродуктов, а также готовой продукции.

Приводимые в учебнике примеры призваны не только иллюстрировать излагаемые положения, но и дать набор тех конкретных задач, которые особенно часто встречаются в практической деятельности химика. С этой же целью в приложении приводятся сведения о стандартных программах решения основных вычислительных задач в соответствии с рассмотренными методами.

* * *
Непроверенный текст книги, полученный с помощью системы оптического распознавания символов (OCR)